Interessante Mathe Aufgaben
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(Gl. 1)
Die 18 und die 81 ersetzen wir durch Potenzen von 3.
(Gl. 2)
(Gl. 3)
Es gilt:
(Gl. 4)
3x substituieren wir durch u.
(Gl. 5)
Gl. 5 setzten wir in Gl. 4 ein.
(Gl. 6)
(Gl. 7)
Für -1 können wir auch schreiben.
(Gl. 8)
Gl. 8 setzen wir in Gl. 7 ein.
(Gl. 9)
Gl. 9 stellen wir ein bisschen um.
(Gl. 10)
Die 3 und die 2 klammern wir aus.
(Gl. 11)
Für die 1 können wir auch 12 und 13 schreiben.
(Gl. 12)
Es gilt:
Für (u2 - 12) und (u3 - 13) aus Gl. 12 erhalten wir.
(Gl. 13)
(Gl. 14)
Gl. 13 und Gl. 14 setzen wir in Gl. 12 ein.
(Gl. 15)
(u - 1) können wir ausklammern.
(Gl. 16)
Die beiden anderen Klammern multiplizieren wir aus.
(Gl. 17)
Beide Klammern können wir separat gleich Null setzen.
(Gl. 18)
Erste Klammer:
(Gl. 19)
(Gl. 20)
Mit Gl. 5 erhalten wir die erste Lösung für x.
(Gl. 21)
(Gl. 22)
Zweite Klammer:
(Gl. 23)
Für die Lösung der quadratischen Gleichung gilt:
Für Gl. 23 erhalten wir zwei konjugiert komplexe Zahlen als Lösung.
(Gl. 24)
Mit Gl. 5 erhalten wir die Lösungen x2 und x3.
(Gl. 25)
(Gl. 26)
(Gl. 27)
(Gl. 28)
Für Gl. 1 gibt es drei Lösungen, eine Reelle und zwei Komplexe.
Zur Kontrolle setzten wir die Löungen in Gl. 1 ein. Fangen wir mit der rellen Lösung an und setzten Gl. 22 in Gl. 1 ein.
(Gl. 29)
(Gl. 30)
(Gl. 31)
Bei den komplexen Lösungen wird es etwas komplizierter. Betrachten wir zuerst die Potenzen komplexer Zahlen, es gilt.
Bilden wir zuerst die Potenzen von x2.
(Gl. 32)
(Gl. 33)
(Gl. 34)
(Gl. 35)
(Gl. 36)
(Gl. 37)
Multiplizieren wir Gl. 37 mit 81.
(Gl. 38)
Multiplizieren wir Gl. 34 mit -18.
(Gl. 39)
Jetzt setzten wir Gl. 38 und Gl. 39 in Gl. 1 ein.
(Gl. 40)
Für die Addition komplexer Zahlen gilt.
(Gl. 41)
(Gl. 42)
(Gl. 43)
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