Aufgabe 88
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(Gl. 1)
Berechnen wir die ersten Glieder der Reihe.
(Gl. 2)
Es gilt.
(Gl. 3)
Mit Hilfe von Gl. 3 erhalten wir aus Gl. 1.
(Gl. 4)
Im Zähler und Nenner können wir einmal n kürzen.
(Gl. 5)
Berechnenn wir die ersten Glieder der Reihe.
(Gl. 6)
Wenn wir den Startwert der Laufvariablen von n=1 auf n=0 ändern können wir für die Summenfunktion auch schreiben.
(Gl. 7)
(Gl. 8)
Es gilt.
(Gl. 9)
Mit Hilfe von Gl. 9 erhalten wir aus Gl. 8.
(Gl. 10)
Wir teilen den Bruch in drei Teile.
(Gl. 11)
Es gilt.
(Gl. 12)
Mit Hilfe von Gl. 12 erhalten wir aus Gl. 11.
(Gl. 13)
Es gilt.
(Gl. 14)
Mit Hilfe von Gl. 14 erhalten wir aus Gl. 13.
(Gl. 15)
Aus Gl.1 und Gl. 15 erhalten wir.
(Gl. 16)
Gl. 1 haben wir so in 3 Summenfunktionen aufgeteilt die wir jeweils separat lösen können.
Summenfunktion 1
Wir berechnen die ersten Glieder der Reihe.
(Gl. 17)
Es gilt.
(Gl. 18)
Das erste Glied der Reihe ist Null, den Startwert der Laufvariablen können wir daher von n=0 auf n=1 ändern. Mit Hilfe von Gl. 18 erhalten wir aus Gl. 17.
(Gl. 19)
Gl. 19 entspricht Aufgabe 41, wir können von dort die Lösung übernehmen.
(Gl. 20)
Summenfunktion 2
(Gl. 21)
Wir berechnen die ersten ersten Glieder der Reihe.
(Gl. 22)
Es gilt.
(Gl. 23)
Das erste Glied der Reihe ist Null, den Startwert der Laufvariablen können wir daher von n=0 auf n=1 ändern.
(Gl. 24)
Es gilt.
(Gl. 3)
Mit Hilfe von Gl. 3 erhalten wir aus Gl. 24.
(Gl. 25)
Im Zähler und Nenner können wir einmal n kürzen.
(Gl. 26)
Berechnen wir die ersten Glieder der Reihe.
(Gl. 27)
(Gl. 28)
Es gilt.
(Gl. 18)
Mit Hilfe von Gl. 18 erhalten wir aus Gl. 28.
(Gl. 29)
Es gilt.
(Gl. 30)
Wir setzen x=1 in Gl. 30 ein.
(Gl. 31)
Die rechte Seite von Gl. 32 entspricht exakt der rechten Seite von Gl. 29.
(Gl. 32)
Daraus ergibt sich für Gl. 21.
(Gl. 33)
Summenfunktion 3
Wir berechnen die ersten Glieder der Reihe.
(Gl. 34)
Es gilt.
(Gl. 18)
Mit Hilfe von Gl. 18 erhalten wir aus Gl. 34.
(Gl. 35)
Es gilt.
(Gl. 32)
Die rechten Seiten von Gl. 35 und Gl. 32 sind identisch, wir erhalten damit die Lösung für die Summenfunktion 3.
(Gl. 36)
Jetzt können wir die drei Teilergebnisse in Gl. 16 einsetzen.
(Gl. 37)
Das Ergebnis.
(Gl. 38)
Anhang 1
(Gl. 38)
Berechnen wir die ersten Glieder der Reihe.
(Gl. 39)
(Gl. 40)
Untersuchen wir die Konvergenz der Reihe.
| n | Summe |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
1,0000000000 5,0000000000 9,5000000000 12,1666666667 13,2083333333 13,5083333333 13,5763888889 13,5890873016 13,5910962302 13,5913718034 13,5914051477 13,5914087552 13,5914091080 13,5914091395 13,5914091421 13,5914091423 |
Anhang 2
Die beiden unterschiedlichen Gleichungen Gl. 33 und Gl. 36 führen zum gleichen Ergebnis.
(Gl. 33)
(Gl. 36)
Das ist nur auf den ersten Blick ein Widerspruch. Betrachten wir zuerst Gl. 33 und berechnen die ersten Glieder der Reihe.
(Gl. 41)
Es gilt.
(Gl. 23)
Mit Hilfe von Gl. 23 erhalten wir aus Gl. 41.
(Gl. 42)
Wir ersetzen die Fakultäten durch die entsprechenden Produkte.
(Gl. 43)
Jetzt können wir die Zähler der Brüche kürzen.
(Gl. 44)
Die Produkte ersetzen wir wieder durch die Fakultäten.
(Gl. 45)
Betrachten wir jetzt Gl. 36 und berechnen die ersten Glieder der Reihe.
(Gl. 46)
Die rechten Seiten von Gl. 45 und Gl. 46 sind identisch und ergeben "e". Dies gilt natürlich nur wenn n gegen unendlich geht, wenn z.B. n=3 ist sind die Ergebnisse natürlich unterschiedlich.
(Gl. 47)
(Gl. 48)
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