Aufgabe 96
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(Gl. 1)
Betrachten wir zuerst nur die Zahl unter der Wurzel. Das Ziel ist es sie so umzuformen dass das Wurzelziehen einfacher wird. Zuerst ersetzen wir die Zahl durch eine Summe.
(Gl. 2)
Die 5 spalten wir ebenfalls ab.
(Gl. 3)
Die 4444000000 ersetzen wir durch 4444·106 und die 222220 durch 22222·101.
(Gl. 4)
Die 4444 ersetzten wir durch 4·1111 und die 22222 durch 2·11111.
(Gl. 5)
Die 1111 und die 11111 drücken wir durch die Zahl 9 aus.
(Gl. 6)
(Gl. 7)
Gl. 6 und Gl. 7 setzen wir in Gl. 5 ein.
(Gl. 8)
Die 9999 ersetzen wir durch 10000-1 und die 99999 ersetzen wir durch 100000-1.
(Gl. 9)
(Gl. 10)
Gl. 9 und Gl. 10 schreiben wir als Potenz.
(Gl. 11)
(Gl. 12)
Gl. 11 und Gl. 12 setzen wir in Gl. 8 ein.
(Gl. 13)
(Gl. 14)
Es gilt.
(Gl. 15)
Wir multiplizieren die Klammern aus und mit Hilfe von Gl. 15 erhalten wir aus Gl. 14.
(Gl. 16)
Wir multiplizieren die Klammern aus.
(Gl. 17)
Die 5 bringen wir auf den Hauptnenner 9.
(Gl. 18)
Wir addieren die drei Brüche und fassen die Zähler zusammen.
(Gl. 19)
(Gl. 20)
(Gl. 21)
Den Exponent 10 ersetzen wir durch 5·2, den Exponent 6 ersetzen wir durch 5+1 und die 4 ersetzen wir durch 22.
(Gl. 22)
Es gilt.
(Gl. 24)
Mit Hilfe von Gl. 24 erhalten wir aus Gl. 22.
(Gl. 25)
Es gilt.
(Gl. 26)
Mit Hilfe von Gl. 26 erhalten wir aus Gl. 25.
(Gl. 27)
Es gilt.
(Gl. 28)
Mit Hilfe von Gl. 28 erhalten wir aus Gl. 27.
(Gl. 29)
Die 10 ersetzen wir durch 2·5 und 25 durch 52.
(Gl. 30)
Wir substituieren 2·105 durch a und die 5 durch b.
(Gl. 31)
(Gl. 32)
Wir setzen Gl. 31 und Gl. 32 in Gl. 30 ein.
(Gl. 33)
Es gilt.
(Gl. 34)
Mit Hilfe von Gl. 34 erhalten wir aus Gl. 33.
(Gl. 35)
Die 9 ersetzen wir durch 33.
(Gl. 36)
Es gilt.
(Gl. 37)
Mit Hilfe von Gl. 37 erhalten wir aus Gl. 36.
(Gl. 38)
Für Gl. 2 können wir mit Hilfe von Gl. 38 jetzt schreiben.
(Gl. 39)
Auf beiden Seiten ziehen wir die Wurzel.
(Gl. 40)
Auf der rechetn Seite heben sich Wurzel und Potenz auf.
(Gl. 41)
Wir machen die Substitution rückgängig un setzen Gl. 31 und Gl. 32 in Gl. 41 ein.
(Gl. 42)
(Gl. 43)
Die 199995 ersetzen wir durch ihre Primfaktorzerlegung.
(Gl. 44)
Wir können die 3 kürzen.
(Gl. 45)
Das Ergebnis.
(Gl. 46)
Anhang
Diese Aufgabe läßt sich auch nach einem allgemeinem Schema lösen, siehe Aufgabe 32 und 33.
Wir unterteilen die Zahl, von rechts beginnend, in Zweierblöcke (hier grau gekennzeichnet). Auf die Darstellung des Wurzelzeichen habe ich verzichtet.
Der erste Block ist die 44. Wir prüfen zwischen welchen Quadratzahlen die 44 liegt.
Die kleinere Quadratzahl, hier die 36, ziehen wir von der 44 ab. Die 6 ist die erste Ziffer der gesuchten Wurzel.
Die Differenz ist 8, wir ergänzen die 8 durch die nächsten Zahlen des nächsten Zweierblocks (44).
Als neue Zahl erhalten wir die 844. Jetzt müssen wir dafür den Teiler berechnen, dazu multiplizieren wir das bisherige Ergebnis (6) mit 20.
Im nächsten Schritt prüfen wir wie oft der Teiler (120) in 844 passt.
Dies ist hier 7 mal der Fall, die 7 ist daher die nächste Ziffer des Ergebnisses. Jetzt müssen wir den Subtrahend berechnen, die Berechnung erfolgt immer nach dem gleichen Schema. Die ermittelte Zahl (7) wird zum Teiler (120) addiert, das Ergebnis wird mit der ermittelten Zahl (7) multipliziert. So erhalten wir 889.
Die 889 ist aber größer als 844, die gesuchte Ziffer ist daher nicht die 7 sondern in diesem Fall die 6.
Die 756 ziehen wir von den 844 ab.
Den Rest der Subtraktion (88) ergänzen wir mit dem nächsten Zweierblock (22).
Jetzt müssen wir dafür den Teiler berechnen, dazu multiplizieren wir das bisherige Ergebnis (66) mit 20.
Im nächsten Schritt prüfen wir wie oft der Teiler (1320) in 8822 passt.
Dies ist hier 6 mal der Fall, die 6 ist daher die nächste Ziffer des Ergebnisses. Jetzt müssen wir den Subtrahend berechnen. Die ermittelte Zahl (6) wird zum Teiler (1320) addiert, das Ergebnis wird mit der ermittelten Zahl (6) multipliziert. So erhalten wir 7956.
Die 7956 ziehen wir von den 8822 ab.
Den Rest der Subtraktion (866) ergänzen wir mit dem nächsten Zweierblock (22).
Jetzt müssen wir dafür den Teiler berechnen, dazu multiplizieren wir das bisherige Ergebnis (666) mit 20.
Im nächsten Schritt prüfen wir wie oft der Teiler (13320) in 86622 passt.
Dies ist hier 6 mal der Fall, die 6 ist daher die nächste Ziffer des Ergebnisses. Jetzt müssen wir den Subtrahend berechnen. Die ermittelte Zahl (6) wird zum Teiler (13320) addiert, das Ergebnis wird mit der ermittelten Zahl (6) multipliziert. So erhalten wir 79956.
Die 79956 ziehen wir von den 86622 ab.
Den Rest der Subtraktion (6666) ergänzen wir mit dem nächsten Zweierblock (25).
Jetzt müssen wir dafür den Teiler berechnen, dazu multiplizieren wir das bisherige Ergebnis (6666) mit 20.
Im nächsten Schritt prüfen wir wie oft der Teiler (133320) in 666625 passt.
Dies ist hier 5 mal der Fall, die 5 ist daher die nächste Ziffer des Ergebnisses. Jetzt müssen wir den Subtrahend berechnen. Die ermittelte Zahl (5) wird zum Teiler (133320) addiert, das Ergebnis wird mit der ermittelten Zahl (5) multipliziert. So erhalten wir 666625.
Die 666625 ziehen wir von den 666625 ab.
Der Rest der Subtraktion ist Null, die Berechnung ist damit beendet. Das Ergebnis lautet.
(Gl. 46)
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