10. Fermat Zahlen
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Eine Fermat Zahl ist wie folgt definiert:
n ist eine natürliche Zahl. Nur die ersten 5 Fermat Zahlen sind Primzahlen.
| n | Fn |
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 |
3 5 17 257 65537 4294967297 18446744073709551617 340282366920938463463374607431768211457 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 |
Fermat glaubte ursprünglich das alle Fermat Zahlen Primzahlen sind, das hat dann aber Leonhard Euler für F5 widerlegt.
F5 = 4294967297 = 641 * 6700417
F6 = 18446744073709551617 = 274177 * 67280421310721
Interessant ist auch die Binärdarstellung der Fermat Zahlen, das ergibt sich natürlich aus der Definition.
| n | Dezimal | Binär |
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0 1 2 3 4 5 6 |
3 5 17 257 65537 4294967297 18446744073709551617 |
11 101 10001 100000001 10000000000000001 100000000000000000000000000000001 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 |
Für die Teiler der Fermat Zahlen gilt.
F5:
641 = 5 * 27 + 1 = 5 * 128 + 1
6700417 = 52347 * 27 + 1 = 52347 * 128 + 1
F6:
274177 = 1071 * 28 + 1 = 1071 * 256 + 1
67280421310721 = 262814145745 * 28 + 1 = 262814145745 * 256 + 1
Das gilt auch für die Fermat Primzahlen (für n > 1).
F2:
17 = 1 * 24 + 1 = 16 + 1
F3:
257 = 8 * 25 + 1 = 8 * 32 + 1
F4:
65537 = 1024 * 26 + 1 = 1024 * 64 + 1
Die Fermat Zahlen sich auch rekursiv berechnen.
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