Mathematische Spielereien

13. Kaprekar Zahlen und Kaprekar Konstanten

Kaprekar Zahl

Eine Kaprekar Zahl ist eine Zahl a, wenn deren Quadratzahl a², aufgeteilt in zwei Teile, addiert wieder die Zahl a ergibt.
Ein paar Beispiele

Kaprekar Zahl	Quadrat	Summe
1	1² = 1	1 + 0 = 1
9	9² = 81	8 + 1 = 9
45	45² = 2025	20 + 25 = 45
55	55² = 3025	30 + 25 = 55
99	99² = 9801	98 + 1 = 99
297	297² = 88209	88 + 209 = 297
703	703² = 494209	494 + 209 = 703
999	999² = 998001	998 + 1 = 999
2223	2223² = 4941729	494 + 1729 = 2223
2728	2728² = 7441984	744 + 1984 = 2728
4879	4879² = 23804641	238 + 4641 = 4879
4950	4950² = 24502500	2450 + 2500 = 4950
5050	5050² = 25502500	2550 + 2500 = 5050
5292	5292² = 28005264	28 + 5264 = 5292
7272	7272² = 52881984	5288 + 1984 = 7272
7777	7777² = 60481729	6048 + 1729 = 7777
9999	9999² = 99980001	9998 + 1 = 9999
17344	17344² = 300814336	3008 + 14336 = 17344
22222	22222² = 493817284	4938 + 17284 = 22222
38962	38962² = 1518037444	1518 + 37444 = 38962
77778	77778² = 6049417284	60494 + 17284 = 77778
82656	82656² = 6832014336	68320 + 14336 = 82656
95121	95121² = 9048004641	90480 + 4641 = 95121
99999	99999² = 9999800001	99998 + 1 = 99999
142857	142857² = 20408122449	20408 + 122449 = 142857
148149	148149² = 21948126201	21948 + 126201 = 148149
181819	181819² = 33058148761	33058 + 148761 = 181819
187110	187110² = 35010152100	35010 + 152100 = 187110
208495	208495² = 43470165025	43470 + 165025 = 208495
318682	318682² = 101558217124	101558 + 217124 = 318682
329967	329967² = 108878221089	108878 + 221089 = 329967
351352	351352² = 123448227904	123448 + 227904 = 351352
356643	356643² = 127194229449	127194 + 229449 = 356643
390313	390313² = 152344237969	152344 + 237969 = 390313
461539	461539² = 213018248521	213018 + 248521 = 461539
466830	466830² = 217930248900	217930 + 248900 = 466830
499500	499500² = 249500250000	249500 + 250000 = 499500
500500	500500² = 250500250000	250500 + 250000 = 500500
533170	533170² = 284270248900	284270 + 248900 = 533170
538461	538461² = 289940248521	289940 + 248521 = 538461
609687	609687² = 371718237969	371718 + 237969 = 609687
643357	643357² = 413908229449	413908 + 229449 = 643357
648648	648648² = 420744227904	420744 + 227904 = 648648
670033	670033² = 448944221089	448944 + 221089 = 670033
681318	681318² = 464194217124	464194 + 217124 = 681318
791505	791505² = 626480165025	626480 + 165025 = 791505
812890	812890² = 660790152100	660790 + 152100 = 812890
818181	818181² = 669420148761	669420 + 148761 = 818181
851851	851851² = 725650126201	725650 + 126201 = 851851
857143	857143² = 734694122449	734694 + 122449 = 857143
961038	961038² = 923594037444	923594 + 037444 = 961038
994708	994708² = 989444005264	989444 + 005264 = 994708
999999	999999² = 999998000001	999998 + 000001 = 999999
4444444	4444444² = 19753082469136	1975308 + 2469136 = 4444444
4927941	4927941² = 24284602499481	2428460 + 2499481 = 4927941
5072059	5072059² = 25725782499481	2572578 + 2499481 = 5072059
5555556	5555556² = 30864202469136	3086420 + 2469136 = 5555556
9372385	9372385² = 87841600588225	8784160 + 0588225 = 9372385
9999999	9999999² = 99999980000001	9999998 + 0000001 = 9999999

Interessante Zahlenpaare unter den Kaprekar Zahlen.

Kaprekar Zahl	Quadrat	Summe
45 55	45² = 2025 55² = 3025	20 + 25 = 45 30 + 25 = 55
4950 5050	4950² = 24502500 5050² = 25502500	2450 + 2500 = 4950 2550 + 2500 = 5050
499500 500500	499500² = 249500250000 500500² = 250500250000	249500 + 250000 = 499500 250500 + 250000 = 500500
49995000 50005000	49995000² = 2499500025000000 50005000² = 2500500025000000	24995000 + 25000000 = 49995000 25005000 + 25000000 = 50005000
4999950000 5000050000	4999950000² = 24999500002500000000 5000050000² = 25000500002500000000	2499950000 + 2500000000 = 4999950000 2500050000 + 2500000000 = 5000050000
499999500000 500000500000	499999500000² = 249999500000250000000000 500000500000² = 250000500000250000000000	249999500000 + 250000000000 = 499999500000 250000500000 + 250000000000 = 500000500000
49999995000000 50000005000000	49999995000000² = 2499999500000025000000000000 50000005000000² = 2500000500000025000000000000	24999995000000 + 25000000000000 = 49999995000000 25000005000000 + 25000000000000 = 50000005000000
4999999950000000 5000000050000000	4999999950000000² = 24999999500000002500000000000000 5000000050000000² = 25000000500000002500000000000000	2499999950000000 + 2500000000000000 = 4999999950000000 2500000050000000 + 2500000000000000 = 5000000050000000
499999999500000000 500000000500000000	499999999500000000² = 249999999500000000250000000000000000 500000000500000000² = 250000000500000000250000000000000000	249999999500000000 + 250000000000000000 = 499999999500000000 250000000500000000 + 250000000000000000 = 500000000500000000

Betrachten wir zuerst die zweite Zahl, z.B. a = 5050, dafür können wir empirisch eine allgemeine Formel erstellen. Die Anzahl der Stellen beträgt 2·i.

a = 5·10^2·i-1 + 5·10^i-1

Zur Kontrolle ein paar Beispiele.

i	a
1 2 3 4	5·10¹ + 5·10⁰ = 55 5·10³ + 5·10¹ = 5050 5·10⁵ + 5·10² = 500500 5·10⁷ + 5·10³ = 50005000

Für das Quadrat a² können wir ebenfalls empirisch eine allgemeine Formel erstellen.

a² = 5²·10^4·i-2 + 5·10^3·i-1 + 5²·10^2·i-2

Zur Kontrolle ein paar Beispiele.

i	a
1 2 3 4	5²·10² + 5·10² + 5²·10⁰ = 3025 5²·10⁶ + 5·10⁵ + 5²·10² = 25502500 5²·10¹⁰ + 5·10⁸ + 5²·10⁴ = 250500250000 5²·10¹⁴ + 5·10¹¹ + 5²·10⁶ = 2500500025000000

Die allgemeine Formel für a² läßt sich natürlich auch aus der Formel für a herleiten.

a = 5·10^2·i-1 + 5·10^i-1
a² = [5·10^2·i-1 + 5·10^i-1]²
a² = [5·10^2·i-1 + 5·10^i-1]·[5·10^2·i-1 + 5·10^i-1]
a² = 5²·10^4·i-2 + 5²·10^3·i-2 + 5²·10^3·i-2 + 5²·10^2·i-2
a² = 5²·10^4·i-2 + 2·5²·10^3·i-2 + 5²·10^2·i-2
a² = 5²·10^4·i-2 + 2·25·10^3·i-2 + 5²·10^2·i-2
a² = 5²·10^4·i-2 + 50·10^3·i-2 + 5²·10^2·i-2
a² = 5²·10^4·i-2 + 5·10¹·10^3·i-2 + 5²·10^2·i-2
a² = 5²·10^4·i-2 + 5·10^3·i-1 + 5²·10^2·i-2

Das Quadrat a² läßt sich symmetrisch in zwei Zahlen b und c trennen wobei b + c wieder a ergibt. Für b und c können wir empirisch eine allgemeine Formel erstellen.

b = 5²·10^2·i-2 + 5·10^i-1
c = 5²·10^2·i-2

Zur Kontrolle addieren wir b und c.

a = b + c = 5²·10^2·i-2 + 5·10^i-1 + 5²·10^2·i-2
a = 2·25·10^2·i-2 + 5·10^i-1
a = 50·10^2·i-2 + 5·10^i-1
a = 5·10¹·10^2·i-2 + 5·10^i-1
a = 5·10^2·i-1 + 5·10^i-1

http://www.mrob.com/pub/seq/kaprekar.html

Einige Repunitzahlen sind Kaprekar Zahlen. Ich habe auch die anderen Repunitzahlen und ihre Quadrate aufgeführt.

Kaprekar Zahl	Quadrat	Summe
11	121
111	12321
1111	1234321
11111	123454321
111111	12345654321
1111111	1234567654321
11111111	123456787654321
111111111	12345678987654321
1111111111	1234567900987654321	123456790 + 0987654321
11111111111	123456790120987654321
111111111111	12345679012320987654321
1111111111111	1234567901234320987654321
11111111111111	123456790123454320987654321
111111111111111	12345679012345654320987654321
111111111111111111	12345679012345678987654320987654321
1111111111111111111	1234567901234567900987654320987654321	123456790123456790 + 0987654320987654321
11111111111111111111	123456790123456790120987654320987654321
1111111111111111111111111111	1234567901234567901234567900987654320987654320987654321	123456790123456790123456790 + 0987654320987654320987654321
1111111111111111111111111111111111111	1234567901234567901234567901234567900987654320987654320987654320987654321	123456790123456790123456790123456790 + 0987654320987654320987654320987654321
1111111111111111111111111111111111111111111111	1234567901234567901234567901234567901234567900987654320987654320987654320987654320987654321	123456790123456790123456790123456790123456790 + 0987654320987654320987654320987654320987654321

Kaprekar Zahl	Anzahl Stellen	Anzahl Stellen Quadrat
1111111111	10	19
1111111111111111111	19	37
1111111111111111111111111111	28	55
1111111111111111111111111111111111111	37	73
1111111111111111111111111111111111111111111111	46	91
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111	55	109
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111	64	127
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111	73	145

Die Anzahl Stellen n der Repunit Kaprikar Zahlen lassen sich nach folgender Formel berechnen.

n = 10 + 9·i mit i = 0, 1, 2...

Alle Quadrate der Repunit Kaprikar Zahlen haben eine ungerade Anzahl Stellen. Alle Zahlen haben in ihrer Sequenz einmal die "00", an dieser Stellen wird die Zahl getrennt "...23456790 + 098765432...".

Der symmetrische Aufbau der Quadrate der Repunit Zahlen läßt sich leicht beweisen, fangen wir mit dem Beispiel 1111 an.

1111 = 10³ + 10² + 10¹ + 10⁰
(10³ + 10² + 10 + 1)² = (10³ + 10² + 10 + 1)·(10³ + 10² + 10 + 1)
10⁶ + 10⁵ + 10⁴ + 10³ + 10⁵ + 10⁴ + 10³ + 10³ + 10⁴ + 10³ + 10² + 10 + 10³ + 10² + 10 + 1
10⁶ + 2·10⁵ + 3·10⁴ + 4·10³ + 3·10² + 2·10 + 1
1000000 + 200000 + 30000 + 4000 + 300 + 20 + 1 = 1234321

Einige Kaprekar Zahlen sind Schnapszahlen.

Kaprekar Schnapszahlen mit der Ziffer 2.

Kaprekar Zahl	Quadrat	Summe
22222	493817284	4938 + 17284
22222222222222	493827160493817283950617284	4938271604938 + 17283950617284
22222222222222222222222	493827160493827160493817283950617283950617284	4938271604938271604938 + 17283950617283950617284
22222222222222222222222222222222	493827160493827160493827160493817283950617283950617283950617284	4938271604938271604938271604938 + 17283950617283950617283950617284
22222222222222222222222222222222222222222	493827160493827160493827160493827160493817283950617283950617283950617283950617284	4938271604938271604938271604938271604938 + 17283950617283950617283950617283950617284
22222222222222222222222222222222222222222222222222	493827160493827160493827160493827160493827160493817283950617283950617283950617283950617283950617284	4938271604938271604938271604938271604938271604938 + 17283950617283950617283950617283950617283950617284

Kaprekar Schnapszahlen mit der Ziffer 3 gibt es nicht.

https://oeis.org/A006886/b006886.txt

Kaprekar Schnapszahlen mit der Ziffer 4.

Kaprekar Zahl	Quadrat	Summe
4444444	19753082469136	1975308 + 2469136
4444444444444444	19753086419753082469135802469136	1975308641975308 + 2469135802469136
4444444444444444444444444	19753086419753086419753082469135802469135802469136	1975308641975308641975308 + 2469135802469135802469136
4444444444444444444444444444444444	19753086419753086419753086419753082469135802469135802469135802469136	1975308641975308641975308641975308 + 2469135802469135802469135802469136
4444444444444444444444444444444444444444444	19753086419753086419753086419753086419753082469135802469135802469135802469135802469136	1975308641975308641975308641975308641975308 + 2469135802469135802469135802469135802469136

Kaprekar Schnapszahlen mit der Ziffer 5.

Kaprekar Zahl	Quadrat	Summe
55	3025	30 + 25
55555555555	3086419753024691358025	30864197530 + 24691358025
55555555555555555555	3086419753086419753024691358024691358025	30864197530864197530 + 24691358024691358025
55555555555555555555555555555	3086419753086419753086419753024691358024691358024691358025	30864197530864197530864197530 + 24691358024691358024691358025
55555555555555555555555555555555555555	3086419753086419753086419753086419753024691358024691358024691358024691358025	30864197530864197530864197530864197530 + 24691358024691358024691358024691358025
55555555555555555555555555555555555555555555555	3086419753086419753086419753086419753086419753024691358024691358024691358024691358024691358025	30864197530864197530864197530864197530864197530 + 24691358024691358024691358024691358024691358025

Kaprekar Schnapszahlen mit der Ziffer 6 gibt es nicht.

Kaprekar Schnapszahlen mit der Ziffer 7.

Kaprekar Zahl	Quadrat	Summe
7777	60481729	6048 + 1729
7777777777777	60493827160481728395061729	6049382716048 + 1728395061729
7777777777777777777777	60493827160493827160481728395061728395061729	6049382716049382716048 + 1728395061728395061729
7777777777777777777777777777777	60493827160493827160493827160481728395061728395061728395061729	6049382716049382716049382716048 + 1728395061728395061728395061729
7777777777777777777777777777777777777777	60493827160493827160493827160493827160481728395061728395061728395061728395061729	6049382716049382716049382716049382716048 + 1728395061728395061728395061728395061729
7777777777777777777777777777777777777777777777777	60493827160493827160493827160493827160493827160481728395061728395061728395061728395061728395061729	6049382716049382716049382716049382716049382716048 + 1728395061728395061728395061728395061728395061729

Kaprekar Schnapszahlen mit der Ziffer 8.

Kaprekar Zahl	Quadrat	Summe
88888888	7901234409876544	79012344 + 09876544
88888888888888888	7901234567901234409876543209876544	79012345679012344 + 09876543209876544
88888888888888888888888888	7901234567901234567901234409876543209876543209876544	79012345679012345679012344 + 09876543209876543209876544
88888888888888888888888888888888888	7901234567901234567901234567901234409876543209876543209876543209876544	79012345679012345679012345679012344 + 09876543209876543209876543209876544
88888888888888888888888888888888888888888888	7901234567901234567901234567901234567901234409876543209876543209876543209876543209876544	79012345679012345679012345679012345679012344 + 09876543209876543209876543209876543209876544

Kaprekar Schnapszahlen mit der Ziffer 9, alle Zahlen mit der Ziffer 9 sind Kaprekar Zahlen.

Kaprekar Zahl	Quadrat	Summe
9	81	8 + 1
99	9801	98 + 01
999	998001	998 + 001
9999	99980001	9998 + 0001
99999	9999800001	99998 + 00001
999999	999998000001	999998 + 000001
9999999	99999980000001	9999998 + 0000001

Diese Kaprekar Schnapszahlen a sind wie folgt definiert.

a = 10ⁱ - 1 mit i = 1, 2, 3...

Für das Quadrat erhält man.

a² = (10ⁱ - 1)² = (10ⁱ - 1)·(10ⁱ - 1)
a² = 10²ⁱ - 10ⁱ - 10ⁱ + 1
a² = 10²ⁱ - 2·10ⁱ + 1

Das Quadrat a² läßt sich symmetrisch in zwei Zahlen b und c trennen wobei b + c wieder a ergibt.

b = 10ⁱ - 2
c = 1

a = b + c
a = 10ⁱ - 2 + 1
a = 10ⁱ - 1

Kaprekar Konstante

Die Kaprekar Konstante entsteht wenn man einen bestimmten Algorithmus auf eine Zahl x anwendet. Z.B auf eine vierstellige Zahl x = adcb. Die Ziffern werden so sortiert das einmal die größtmögliche Zahl x₁ und einmal die kleinstmögliche Zahl x₂ entsteht.

x₁ = abcd mit a > b > c > d und
x₂ = dcba mit d < c < b < a

Beide Zahlen werden subtrahiert.

x₁ - x₂

Auf das Ergebnis wird der Algorithmus (Sortieren, Subtrahieren) erneut angewandet. Nach einem bis maximal 7 Schritten (je nach Anfangszahl), erhält man die Zahl 6174, die Kaprekar Konstante für vierstellinge Zahlen.

Für dreistellige Zahlen beträgt die Kaprekar Konstante 495. Einige Beispiele:

495	954 - 459 = 495
734	743 - 347 = 396 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495
123	321 - 123 = 198 981 - 189 = 792 972 - 279 = 693 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495
998	998 - 899 = 099 990 - 099 = 891 981 - 189 = 792 972 - 279 = 693 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495
191	911 - 119 = 792 972 - 279 = 693 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495
568	865 - 568 = 297 972 - 279 = 693 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495
303	330 - 033 = 297 972 - 279 = 693 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495
959	995 - 599 = 396 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495
496	964 - 469 = 495
173	731 - 137 = 594 954 - 459 = 495
818	881 - 188 = 693 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495
002	200 - 002 = 198 981 - 189 = 792 972 - 279 = 693 963 - 369 = 594 954 - 459 = 495

Für vierstellige Zahlen beträgt die Kaprekar Konstante 6174. Einige Beispiele:

6174	7641 - 1467 = 6174
4783	8743 - 3478 = 5265 6552 - 2556 = 3996 9963 - 3699 = 6264 6642 - 2466 = 4176 7641 - 1467 = 6174
0001	1000 - 0001 = 0999 9990 - 0999 = 8991 9981 - 1899 = 8082 8820 - 0288 = 8532 8532 - 2358 = 6174

Für fünfstellige Zahlen gibt es keine Kaprekar Konstante, der Algorithmus endet immer in einem Zyklus.

Für sechsstellige Zahlen beträgt die Kaprekar Konstante 549945 und 631764, d.h. es gibt zwei Konstanten. Einige Beispiele:

549945	995544 - 445599 = 549945
631764	766431 - 134667 = 631764
501105	551100 - 001155 = 549945
631764	766431 - 134667 = 631764
000047	740000 - 000047 = 739953 997533 - 335799 = 661734 766431 - 134667 = 631764
333838	883333 - 333388 = 549945
333718	873331 - 133378 = 739953 997533 - 335799 = 661734 766431 - 134667 = 631764

Für siebenstellige Zahlen gibt es keine Kaprekar Konstante, der Algorithmus endet immer in einem Zyklus.

Für achtstellige Zahlen beträgt die Kaprekar Konstante 63317664 und 97508421, d.h. es gibt zwei Konstanten. Einige Beispiele:

63317664	76664331 - 13346667 = 63317664
97508421	98754210 - 01245789 = 97508421
33371999	99973331 - 13337999 = 86635332 86653332 - 23335668 = 63317664
33372113	73333211 - 11233337 = 62099874 99876420 - 02467899 = 97408521 98754210 - 01245789 = 97508421

Für neunstellige Zahlen beträgt die Kaprekar Konstante 554999445 und 864197532, d.h. es gibt zwei Konstanten. Einige Beispiele:

554999445	999555444 - 444555999 = 554999445
864197532	987654321 - 123456789 = 864197532
000000011	110000000 - 000000011 = 109999989 999999810 - 018999999 = 980999811 999988110 - 011889999 = 988098111 998881110 - 011188899 = 987692211 998762211 - 112267899 = 886494312 988644321 - 123446889 = 865197432 987654321 - 123456789 = 864197532
333722277	777333222 - 222333777 = 554999445
333722294	974333222 - 222333479 = 751999743 999775431 - 134577999 = 865197432 987654321 - 123456789 = 864197532

Für zehnstellige Zahlen beträgt die Kaprekar Konstante 6333176664, 9753086421 und 9975084201, d.h. es gibt drei Konstanten. Einige Beispiele:

6333176664	7666643331 - 1333466667 = 6333176664
9753086421	9876543210 - 0123456789 = 9753086421
9975084201	9987542100 - 0012457899 = 9975084201
0000000005	5000000000 - 0000000005 = 4999999995 9999999954 - 4599999999 = 5399999955 9999995553 - 3555999999 = 6443995554 9965554443 - 3444555699 = 6520998744 9987654420 - 0244567899 = 9743086521 9876543210 - 0123456789 = 9753086421
3337239999	9999733332 - 2333379999 = 7666353333 7666533333 - 3333356667 = 4333176666 7666643331 - 1333466667 = 6333176664
3337240018	8743332100 - 0012333478 = 8730998622 9988763220 - 0223678899 = 9765084321 9876543210 - 0123456789 = 9753086421
3337400599	9975433300 - 0033345799 = 9942087501 9987542100 - 0012457899 = 9975084201

Für elfstellige Zahlen beträgt die Kaprekar Konstante 86431976532, d.h. es gibt nur eine Konstante. Einige Beispiele:

86431976532

98766543321 - 12334566789 = 86431976532

Für zwölfstellige Zahlen beträgt die Kaprekar Konstante 555499994445, 633331766664, 975330866421, 997530864201 und 999750842001, d.h. es gibt fünf Konstanten. Einige Beispiele:

555499994445	999955554444 - 444455559999 = 555499994445
633331766664	766666433331 - 133334666667 = 633331766664
975330866421	987665433210 - 012334566789 = 975330866421
997530864201	998765432100 - 001234567899 = 997530864201
999750842001	999875421000 - 000124578999 = 999750842001

Alle Kaprekar Konstanten sind durch 9 teilbar und damit natürlich auch durch 3.

Stellen	Kaprekar Konstante	Primfaktorzerlegung
3	495	3·3·5·11
4	6174	2·3·3·7·7·7
6	549945 631764	3·3·5·11·11·101 2·2·3·3·7·23·109
8	63317664 97508421	2·2·2·2·2·3·3·109·2017 3·3·3·3611423
9	554999445 864197532	3·3·3·3·5·7·11·13·37·37 2·2·3·3·3·11·181·4019
10	6333176664 9753086421 9975084201	2·2·2·3·3·87960787 3·3·3·13·31·896341 3·3·3·369447563
11	86431976532	2·2·3·3·3·11·1471·49459
12	555499994445 633331766664 975330866421 997530864201 999750842001	3·3·5·11·11·73·101·101·137 2·2·2·3·3·23·382446719 3·3·3·383·94316881 3·3·3·83·445127561 3·3·3·37027808963
13	8643319766532	2·2·3·3·3·11·13487·539447
14	63333317666664 97533308666421 97755108844221 99753308664201 99975308642001 99997508420001	2·2·2·3·3·103·22961·371939 3·3·3·197·18336775459 3·3·3·127103·28485241 3·3·3·16741·220689743 3·3·3·13·17·19·881826437 3·3·3·127·29162294669
15	555549999944445 864333197666532	3·3·5·11·41·41·271·271·9091 2·2·3·3·3·11·11·389·170028791
16	6333333176666664 9753333086666421 9775531088644221 9975333086664201 9977551088442201 9997533086642001 9999753086420001 9999975084200001	2·2·2·3·3·7·47·7757·34467529 3·3·3·7·593·87023502473 3·3·3·47·61·761·165945029 3·3·3·14473099·25527137 3·3·3·11·11·409·3529·2115923 3·3·3·1123·20021·16468861 3·3·3·47·781409·10084381 3·3·3·17·21786438091939
17	86433331976666532 98765420987543211	2·2·3·3·3·11·13·19·294555991687 3·3·3·11·332543505008563
18	555554999999444445 633333331766666664 886644219977553312 975333330866666421 977553310886644221 997533330866664201 997755310886442201 999753330866642001 999775510884422001 999975330866420001 999997530864200001 999999750842000001	3·3·3·3·5·7·7·11·11·13·13·37·37·101·9901 2·2·2·3·3·7·1847·12101·56222953 2·2·2·2·2·3·3·3·11·11·59·101·1423235897 3·3·3·13·19·146248812545609 3·3·3·3559·214481·47430737 3·3·3·47·311·2527582877539 3·3·3·36953900403201563 3·3·3·13·10730747·265433533 3·3·3·43·257·4409·9901·76757 3·3·3·509·9901·28439·258413 3·3·3·7·17·2293·13499·10055011 3·3·3·186743·198331545541

Das die Kaprekar Konstanten durch 9 teilbar sind läßt sich leicht beweisen. Betrachten wir eine vierstellige Zahl abcd, wir können sie auch anders schreiben.

1000·a + 100·b + 10·c + d

Subtrahieren wir davon die gespiegelte Zahl dcba.

1000·a + 100·b + 10·c + d - (1000·d + 100·c + 10·b + a) =
1000·a - a + 100·b - 10·b + 10·c - 100·c + d - 1000·d =
999·a + 90·b - 90·c - 999·d=
999·(a - d) + 90·(b - c)

Daraus können wir die 9 ausklammern.

9·[111·(a - d) + 10·(b - c)]

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